Раздел 12. Теория вероятностей.

1. Введение

2. Простейшие понятия теории вероятностей

3. Алгебра событий

4. Вероятность случайного события

5. Геометрические вероятности

6. Классические вероятности. Формулы комбинаторики.

7. Условная вероятность. Независимость событий.

8. Формула полной вероятности и формулы Байеса

9. Схема повторных испытаний. Формула Бернулли и её асимптотика

10. Случайные величины (СВ)

11. Ряд распределения ДСВ

12. Интегральная функция распределения

13. Функция распределения НСВ

14. Плотность вероятности НСВ

15. Числовые характеристики случайных величин

16. Примеры важных распределений СВ

16.1. Биномиальное распределение ДСВ.

16.2. Распределение Пуассона

16.3. Равномерное распределение НСВ.

16.4. Нормальное распределение.

17. Предельные теоремы теории вероятностей.

Введение

Теория вероятностей, подобно многим другим математическим дисциплинам, развивалась из потребностей практики. При этом, изучая реальный процесс, приходилось создавать абстрактную математическую модель реального процесса. Обычно учитывают главные, наиболее существенные движущие силы реального процесса, отбрасывая из рассмотрения второстепенные, которые называются случайными. Конечно, что считать главным, а что второстепенным,- отдельная задача. Решение этого вопроса определяет уровень абстракции, простоту или сложность математической модели и уровень адекватности модели реальному процессу. В сущности, любая абстрактная модель является результатом двух противостоящих устремлений: простоты и адекватности реальности.

Например, в теории стрельбы разработаны достаточно простые и удобные формулы для определения траектории полёта снаряда из орудия, расположенного в точке (рис. 1).

В определённых условиях упомянутая теория является достаточной, например, при массированной артподготовке.

Однако ясно, что если из одного орудия при одинаковых условиях произвести несколько выстрелов, то траектории будут хотя и близкими, но все же отличающимися. И если размер цели мал по сравнению с областью рассеивания, то возникают специфические вопросы, связанные именно с влиянием факторов, неучтённых в рамках предлагаемой модели. При этом учёт дополнительных факторов приведёт к слишком сложной модели, пользоваться которой практически невозможно. К тому же, этих случайных факторов бывает много, природа их чаще всего неизвестна.

В приведённом примере такими специфическими вопросами, выходящими за рамки детерминированной модели, являются, например, следующие: сколько надо произвести выстрелов, чтобы с определённой уверенностью (например, на ) гарантировать поражение цели? как надо провести пристрелку, чтобы на поражение цели затратить наименьшее количество снарядов? и т.п.

Как мы увидим в дальнейшем, слова «случайный», «вероятность» станут строгими математическими терминами. Вместе с тем они весьма распространены в обычной разговорной речи. При этом считается, что прилагательное «случайный» является противопоставлением «закономерному». Однако, это не так, ибо природа устроена таким образом, что случайные процессы обнаруживают закономерности, но при определённых условиях.

Основное условие называется массовостью.

Например, если подбросить монету, то нельзя предсказать, что выпадает, герб или цифра,- можно лишь угадать. Однако, если эту монету подбросить большое число раз, что доля выпадений герба будет не сильно отличается от некоторого числа, близкого к 0,5 (в дальнейшем это число мы назовем вероятностью). Причем, с увеличением числа подбрасываний отклонение от этого числа будет уменьшаться. Это свойство называется устойчивостью средних показателей (в данном случае - доли гербов). Надо сказать, что на первых шагах теории вероятностей, когда надо было на практике убедиться в наличии свойства устойчивости, даже большие учёные не считали за труд провести самостоятельно проверку. Так, известен опыт Бюффона, который подбросил монету 4040 раз, и герб выпал 2048 раз, следовательно, доля (или относительная частота) выпадения герба равна 0,508, что близко интуитивно к ожидаемому числу 0,5.

Поэтому обычно даётся определение предмета теории вероятностей как раздела математики, изучающего закономерности массовых случайных процессов.

Надо сказать, что, несмотря на то, что наибольшие достижения теории вероятностей относятся к началу прошлого века, в особенности благодаря аксиоматическому построению теории в работах А.Н. Колмогорова (1903-1987), интерес к изучению случайностей проявился давно.

Сначала интересы были связаны с попытками применить числовой подход к азартным играм. Первые достаточно интересные результаты теории вероятностей принято связывать с работами Л. Пачоли (1494г), Д. Кардано (1526) и Н. Тартальи (1556).

Позже Б. Паскаль (1623-1662), П. Ферма (1601-1665), Х. Гюйгенс (1629-1695) заложили основы классической теории вероятностей. В начале 18 века Я. Бернулли (1654-1705) формирует понятие вероятности случайного события как отношение числа благоприятствующих шансов к числу всех возможных. На использовании понятия меры множества строили свои теории Э. Борель (1871-1956), А. Ломницкий (1881-1941), Р. Мизес (1883-1953).

Теоретико-множественная точка зрения в наиболее законченном виде была изложена в 1933г. А.Н. Колмогоровым в его монографии «Основные понятия теории вероятностей». Именно с этого момента теория вероятностей становится строгой математической наукой.

Большой вклад в развитие теории вероятностей внесли русские математики П.Л. Чебышёв (1821-1894), А.А. Марков (1856-1922), С.Н. Бернштейн (1880-1968) и другие.

Теория вероятностей бурно развивается и в настоящее время.

Простейшие понятия теории вероятностей

Как любая математическая дисциплина, теория вероятностей начинается с введения простейших понятий, которые не определяются, а лишь поясняются.

Одним из основных первичных понятий является опыт. Под опытом понимается некоторый комплекс условий, которые могут воспроизводиться неограниченное число раз. Каждую реализацию этого комплекса и назовем опытом или испытанием. Результаты опыта могут быть различными, в этом и проявляется элемент случайности. Различные результаты или исходы опыта называются событиями (точнее случайными событиями). Таким образом, при осуществлении опыта может произойти то или иное событие. Другими словами, случайное событие – это исход опыта, который при осуществлении опыта может произойти (появиться) или не произойти.

Опыт будем обозначать буквой , а случайные события обозначаются обычно заглавными буквами

Часто в опыте можно заранее выделить его исходы, которые можно назвать простейшими, которые нельзя разложить на более простые. Такие события называются элементарными событиями (или случаями).

Пример 1. Пусть подбрасывается монета. Исходами опыта являются: выпадение герба (обозначим это событие буквой ); выпадение цифры (обозначим ). Тогда можно записать: опыт ={подбрасывание монеты}, исходы: Ясно, что элементарные события в данном опыте. Иначе говоря, перечисление всех элементарных событий опыта полностью его описывает. По этому поводу будем говорить, что опыт есть пространство элементарных событий, и в нашем случае опыт кратко можно записать в виде: ={подбрасывание монеты}={Г;Ц}.

Пример 2 . ={монета подбрасывается дважды}= Здесь приведено словесное описание опыта и перечисление всех элементарных событий: означает, что сначала при первом подбрасывании монеты выпал герб, при втором – тоже герб; означает, что при первом подбрасывании монеты выпал герб, при втором цифра и т.д.

Пример 3. В системе координат в квадрат бросаются точки. В этом примере элементарными событиями являются точки с координатами которые удовлетворяют приведенным неравенствам. Кратко это записывается следующим образом:

Двоеточие в фигурных скобках означает, что состоит из точек но не любых, а только тех, которые удовлетворяют условию (или условиям), указанным после двоеточия (в нашем примере это неравенства).

Пример 4. Монета подбрасывается до первого выпадения герба. Другими словами, подбрасывание монеты продолжается до тех пор, пока не выпадет герб. В этом примере элементарные события перечислить можно, хотя их бесконечное число:

Заметим, что в примерах 3 и 4 пространство элементарных событий насчитывает бесконечное число исходов. В примере 4 их можно перечислить, т.е. пересчитать. Такое множество называется счетным. В примере 3 пространство является несчетным.

Введем в рассмотрение еще два события, которые присутствуют в любом опыте и которые имеют большое теоретические значение.

Назовем событие невозможным, если в результате опыта оно обязательно не произойдет. Будем его обозначать знаком пустого множества . Наоборот, событие, которое в результате опыта обязательно произойдёт называется достоверным. Достоверное событие обозначается так же, как и само пространство элементарных событий – буквой .

Например, при подбрасывании игральной кости событие {выпало меньше 9 очков} - достоверное, а событие {выпало ровно 9 очков} невозможное.

Итак, пространство элементарных событий может задаваться словесным описанием, перечислением всех его элементарных событий, заданием правил или условий, по которым получаются все его элементарные события.

Алгебра событий

До сих пор мы говорили лишь об элементарных событиях как непосредственных результатах опыта. Однако в рамках опыта можно говорить и о других случайных событиях, кроме элементарных.

Пример 5. При подбрасывании игральной кости, кроме элементарных событий выпадений соответственно единицы, двойки,…, шестерки, можно говорить о других событиях: (выпадение четного числа), (выпадение нечетного числа), (выпадение числа, кратного трем), (выпадение числа, меньшего 4) и т.п. В данном примере указанные события, кроме словесного задания, можно задать перечислением элементарных событий:

Образование новых событий из элементарных, а также из других событий осуществляется с помощью операций (или действий) над событиями.

Определение. Произведением двух событий и называется событие, состоящее в том, что в результате опыта произойдет и событие ,и событие , т. е произойдут оба события вместе (одновременно).

Знак произведения (точку) часто не ставят:

Определение. Суммой двух событий называется событие, состоящее в том, что в результате опыта произойдет или событие ,или событие ,или оба вместе (одновременно).

В обоих определениях мы намеренно подчеркнули союзы и и или -сцелью привлечь внимание читателя к своей речи при решении задач. Если мы произносим союз «и», то речь идет о произведении событий; если произносится союз «или», то события надо складывать. При этом заметим что союз «или» в обиходной речи часто используется в смысле исключения одного из двух: «только или только ». В теории вероятностей такое исключение не предполагается: и ,и , и означают появление события

Если задано перечислением элементарных событий, то сложные события с помощью указанных операций получить просто. Для получения надо найти все элементарные события, принадлежащие обоим событиям, если таковых нет, то Сумму событий также составить несложно: надо взять любое из двух событий и добавить к нему те элементарные события из другого события, которые не входят в первое.

В примере 5 получаем, в частности

Введенные операции называются бинарными, т.к. определены для двух событий. Большое значение имеет следующая унарная операция (определенная для одного события): событие называется противоположным событию если оно состоит в том, что в данном опыте событие не произошло. Из определения ясно, что всякое событие и ему противоположное обладают следующими свойствами: Введённая операция называется дополнением события А.

Отсюда следует, что если задано перечислением элементарных событий, то, зная задание события ,легко получить оно состоит из всех элементарных событий пространства которые не принадлежат В частности, для примера 5 событие

Если нет скобок, то устанавливается следующий приоритет в выполнении операций: дополнение, умножение, сложение.

Итак, с помощью введённых операций пространство элементарных событий пополняется другими случайными событиями, которые образуют так называемую алгебру событий.

Пример 6. По мишени стрелок произвёл три выстрела. Рассмотрим события = {стрелок попал в мишень при i-м выстреле}, i = 1,2,3.

Составим из этих событий (не забудем и о противоположных ) некоторые события. Пространных комментариев не приводим; полагаем, что читатель проведёт их самостоятельно.

Событие В = {все три выстрела попали в мишень}. Подробнее: В = {и первый, и второй, и третий выстрелы попали в мишень}. Использовали союз и, следовательно, события перемножаются:

Аналогично:

С = {ни один из выстрелов не попал в цель}

Е = {один выстрел достиг мишени}

Д = {мишень поражена при втором выстреле} = ;

F = {мишень поражена двумя выстрелами}

Н = {в мишени окажется хотя бы одно попадание}

Как известно, в математике большое значение имеет геометрическая интерпретация аналитических объектов, понятий и формул.

В теории вероятностей удобно наглядное представление (геометрическая интерпретация) опыта, случайных событий и операций над ними в виде так называемых диаграмм Эйлера-Венна . Суть состоит в том, что всякий опыт отождествляется (интерпретируется) с бросанием точек в некоторый квадрат. Точки бросаются наугад, так что у всех точек имеются одинаковые шансы попасть в любое место этого квадрата. Квадрат определяет рамки рассматриваемого опыта. Каждое событие в рамках опыта отождествляется с некоторой областью квадрата. Иначе говоря, осуществление события означает попадание случайной точки внутрь области, обозначенной буквой Тогда операции над событиями легко интерпретируются геометрически (рис.2)

А:

А + В: всякая

штриховка

На рис.2 а) для наглядности событие А выделено вертикальной штриховкой, событие В - горизонтальной. Тогда операции умножения соответствует двойная штриховка - событию соответствует та часть квадрата которая покрыта двойной штриховкой. При этом, если то и называются несовместными событиями. Соответственно операции сложения соответствует любая штриховка- событие означает часть квадрата, заштрихованная любой штриховкой – вертикальной, горизонтальной и двойной. На рис.2 б) показано событие ему соответствует заштрихованная часть квадрата - все, что не входит в область Введенные операции обладают следующими основными свойствами, некоторые из которых справедливы для одноименных операций над числами, но есть и специфические.

1 0 . коммутативность умножения;

2 0 . коммутативность сложения;

3 0 . ассоциативность умножения;

4 0 . ассоциативность сложения,

5 0 . дистрибутивность умножения относительно сложения,

6 0 . дистрибутивность сложения относительно умножения;

9 0 . законы двойственности де Моргана,

10 0 .

1 .A .A+ .A· =A, 1 .A+ . 1 .A· = , 1 .A+ =

Пример 7. Иван и Петр договорились встретиться на временном промежутке в Т час, например, (0,Т). При этом они условились, что каждый из них, придя на встречу, ждет другого не более час.

Придадим этому примеру геометрическую интерпретацию. Обозначим: время прихода на встречу Ивана; время прихода на встречу Петра. Согласно договоренности: 0 . Тогда в системе координат получаем: = Нетрудно заметить, что в нашем примере пространство элементарных событий представляет собой квадрат. 1

0 x соответствует та часть квадрата, которая расположена выше этой прямой.Аналогично, второму неравенству y≤x+ и; и не работает, если не работают все элементы, т.е. .Таким образом, второй закон двойственности де Моргана: реализуется при параллельном соединении элементов.

Приведённый пример показывает, почему теория вероятностей находит большое применение в физике, в частности, в расчетах надежности реальных технических устройств.

Когда бросается монета, можно сказать, что она упадет орлом вверх, или вероятность этого составляет 1/2. Конечно, это не означает того, что если монета подбрасывается 10 раз, она обязательно упадет вверх орлом 5 раз. Если монета является "честной" и если она подбрасывается много раз, то орел выпадет очень близко в половине случаев. Таким образом, существует два вида вероятностей: экспериментальная и теоретическая .

Экспериментальная и теоретическая вероятность

Если бросить монетку большое количество раз - скажем, 1000 - и посчитать, сколько раз выпадет орел, мы можем определить вероятность того, что выпадет орел. Если орел выпадет 503 раза, мы можем посчитать вероятность его выпадения:
503/1000, или 0,503.

Это экспериментальное определение вероятности. Такое определение вероятности вытекает из наблюдения и изучения данных и является довольно распространенным и очень полезным. Вот, к примеру, некоторые вероятности которые были определены экспериментально:

1. Вероятность того, что у женщины разовьется рак молочной железы составляет 1/11.

2. Если вы целуетесь, с кем-то, кто болен простудой, то вероятность того, что вы тоже заболеете простудой, составляет 0,07.

3. Человек, который только что был освобожден из тюрьмы, имеет 80% вероятности возвращения назад в тюрьму.

Если мы рассматриваем бросание монеты и беря во внимание то, что столь же вероятно, что выпадет орел или решка, мы можем вычислить вероятность выпадение орла: 1 / 2. Это теоретическое определение вероятности. Вот некоторые другие вероятности, которые были определены теоретически, с помощью математики:

1. Если находится 30 человек в комнате, вероятность того, что двое из них имеют одинаковый день рождения (исключая год), составляет 0,706.

2. Во время поездки, Вы встречаете кого-то, и в течение разговора обнаруживаете, что у вас есть общий знакомый. Типичная реакция: "Этого не может быть!". На самом деле, эта фраза не подходит, потому что вероятность такого события достаточно высока - чуть более 22%.

Таким образом, экспериментальная вероятность определяются путем наблюдения и сбора данных. Теоретические вероятности определяются путем математических рассуждений. Примеры экспериментальных и теоретических вероятностей, как например, рассмотренных выше, и особенно тех, которые мы не ожидаем, приводят нас, к ваэности изучения вероятности. Вы можете спросить: "Что такое истинная вероятность?" На самом деле, таковой нет. Экспериментально можно определить вероятности в определенных пределах. Они могут совпадать или не совпадать с вероятностями, которые мы получаем теоретически. Есть ситуации, в которых гораздо легче определить один из типов вероятности, чем другой. Например, было бы довольно найти вероятность простудиться, используя теоретическую вероятность.

Вычисление экспериментальных вероятностей

Рассмотрим сначала экспериментальное определение вероятности. Основной принцип, который мы используем для вычисления таких вероятностей, является следующим.

Принцип P (экспериментальный)

Если в опыте, в котором проводится n наблюдений, ситуация или событие Е происходит m раз за n наблюдений, то говорят, что экспериментальная вероятность события равна P (E) = m/n.

Пример 1 Социологический опрос. Было проведено экспериментальное исследование, чтобы определить количество левшей, правшей и людей, у которых обе руки развиты одинаково Результаты показаны на графике.

a) Определите вероятность того, что человек - правша.

b) Определите вероятность того, что человек - левша.

c) Определите вероятность того, что человек одинаково свободно владеет обеими руками.

d) В большинстве турниров, проводимых Профессиональной Ассоциацией Боулинга, участвуют 120 игроков. На основании данных этого эксперимента, сколько игроков могут быть левшой?

Решение

a)Число людей, являющиеся правшами, составляет 82, количество левшей составляет 17, а число тех, кто одинаково свободно владеет двумя руками - 1. Общее количество наблюдений - 100. Таким образом, вероятность того, что человек правша, есть Р
P = 82/100, или 0,82, или 82%.

b) Вероятность того, что человек левша, есть Р, где
P = 17/100, или 0,17, или 17%.

c) Вероятность того, что человек одинаково свободно владеет двумя руками составляет P, где
P = 1/100, или 0,01, или 1%.

d) 120 игроков в боулинг, и из (b) мы можем ожидать, что 17% - левши. Отсюда
17% от 120 = 0,17.120 = 20,4,
то есть мы можем ожидать, что около 20 игроков являются левшами.

Пример 2 Контроль качества . Для производителя очень важно держать качество своей продукции на высоком уровне. На самом деле, компании нанимают инспекторов контроля качества для обеспечения этого процесса. Целью является выпуск минимально возможного количества дефектных изделий. Но так как компания производит тысячи изделий каждый день, она не может позволить себе проверять каждое изделие, чтобы определить, бракованное оно или нет. Чтобы выяснить, какой процент продукции являются дефектным, компания проверяет гораздо меньше изделий.
Министерство сельского хозяйства США требует, чтобы 80% семян, которые продают производители, прорастали. Для определения качества семян, которые производит сельхозкомпания, высаживается 500 семян из тех, которые были произведены. После этого подсчитали, что 417 семян проросло.

a) Какова вероятность того, что семя прорастет?

b) Отвечают ли семена государственным стандартам?

Решение a) Мы знаем, что из 500 семян, которые были высажены, 417 проросли. Вероятность прорастания семян Р, и
P = 417/500 = 0,834, или 83.4%.

b) Так как процент проросших семян превысил 80% по требованию, семена отвечают государственным стандартам.

Пример 3 Телевизионные рейтинги. Согласно статистических данных, в Соединенных Штатах 105 500 000 домохозяйств с телевизорами. Каждую неделю, информация о просмотре передач собирается и обрабатывается. В течение одной недели 7815000 домохозяйств были настроены на популярный комедийный сериал "Все любят Реймонда" на CBS и 8302000 домохозяйств были настроены на популярный сериал «Закон и порядок» на NBC (Источник: Nielsen Media Research). Какова вероятность того, что телевизор одного дома настроен на «Everybody Loves Raymond" в течение данной недели? на «Закон и порядок»?

Решениеn Вероятность того, что телевизор в одном домохозяйстве настроен на "Все любят Реймонда" равна Р, и
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Возможность, что телевизор домохозяйства был настроен на «Закон и порядок» составляет P, и
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Эти проценты называются рейтингами.

Теоретическая вероятность

Предположим, что мы проводим эксперимент, такие, как бросание монетки ли дротиков, вытаскивание карты из колоды, или проверка изделий на качество на сборочной линии. Каждый возможный результат такого эксперимента называется исход . Множество всех возможных исходов называется пространством исходов . Событие это множество исходов, то есть подмножество пространства исходов.

Пример 4 Бросание дротиков. Предположим, что в эксперименте «метание дротиков» дротик попадает в мишень. Найдите каждое из нижеследующих:

b) Пространство исходов

Решение
a) Исходы это: попадание в черное (Ч), попадание в красное (К) и попадание в белое (Б).

b) Пространство исходов есть {попадание в черное, попадание в красное, попадание в белое}, которое может быть записано просто как {Ч, К, Б}.

Пример 5 Бросание игральных костей. Игральная кость это куб с шестью гранями, на каждой их которых нарисовано от одной до шести точек.


Предположим, что мы бросаем игральную кость. Найдите
a) Исходы
b) Пространство исходов

Решение
a) Исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Пространство исходов {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Мы обозначаем вероятность того, что событие Е случается в качестве Р (Е). Например, "монета упадет решкой" можно обозначать H. Тогда Р (Н) представляет собой вероятность того, монета упадет решкой. Когда все исходы эксперимента имеют одинаковую вероятность появления, говорят, что они равновероятны. Чтобы увидеть различия между событиями, которые равновероятны, и неравновероятными событиями, рассмотрим мишень, изображенную ниже.

Для мишени A, события попадания в черное, красное и белое равновероятны, так как черные, красные и белые сектора - одинаковые. Однако, для мишени B зоны с этими цветами не одинаковы, то есть попадание в них не равновероятно.

Принцип P (Теоретический)

Если событие E может случиться m путями из n возможных равновероятных исходов из пространства исходов S, тогда теоретическая вероятность события, P(E) составляет
P(E) = m/n.

Пример 6 Какая вероятность выкинуть 3, бросив игральный кубик?

Решение На игральном кубике 6 равновероятных исходов и существует только одна возможность выбрасивания цифры 3. Тогда вероятность P составит P(3) = 1/6.

Пример 7 Какая вероятность выбрасывания четной цифры на игральном кубике?

Решение Событие - это выбрасывание четной цифры. Это может случиться 3 способами (если выпадет 2, 4 или 6). Число равновероятных исходов равно 6. Тогда вероятность P(четное) = 3/6, или 1/2.

Мы будем использовать ряд примеров, связанных со стандартной колодой из 52 карт. Такая колода состоит из карт, показанных на рисунке ниже.

Пример 8 Какая вероятность вытянуть туза из хорошо перемешанной колоды карт?

Решение Существует 52 исхода (количество карт в колоде), они равновероятны (если колода хорошо перемешана), и есть 4 способа вытянуть туза, поэтому согласно принципу P, вероятность
P(вытягивания туза) = 4/52, или 1/13.

Пример 9 Предположим, что мы выбираем не глядя, один шарик из мешка с 3-мя красными шариками и 4-мя зелеными шариками. Какова вероятность выбора красного шарика?

Решение Существует 7 равновероятных исходов достать любой шарик, и так как число способов вытянуть красный шарик равно 3, получим
P(выбора красного шарика) = 3/7.

Следующие утверждения - это результаты из принципа P.

Свойства вероятности

a) Если событие E не может случиться, тогда P(E) = 0.
b) Если событие E случиться непременно тогда P(E) = 1.
c) Вероятность того, что событие Е произойдет это число от 0 до 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Например, в бросании монеты, событие, когда монета упадет на ребро имеет нулевую вероятность. Вероятность того, что монета либо на орел или решку имеет вероятность 1.

Пример 10 Предположим, что вытягиваются 2 карты из колоды с 52-мя картами. Какова вероятность того, что обе из них пики?

Решение Число путей n вытягивания 2 карт из хорошо перемешанной колоды с 52 картами есть 52 C 2 . Так как 13 из 52 карт являются пиками, число способов m вытягивания 2-х пик есть 13 C 2 . Тогда,
P(вытягивания 2-х пик)= m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Пример 11 Предположим, что 3 человека выбираются случайно из группы, состоящей из 6-ти мужчин и 4-х женщин. Какова вероятность того, что будут выбраны 1 мужчина и 2 женщины?

Решение Число способов выбора троих человек из группы 10 человек 10 C 3 . Один мужчина может быть выбран 6 C 1 способами, и 2 женщины могут быть выбраны 4 C 2 способами. Согласно фундаментальному принципу подсчета, число способов выбора 1-го мужчины и 2-х женщин 6 C 1 . 4 C 2 . Тогда, вероятность что будет выбраны 1-го мужчины и 2-х женщин есть
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

Пример 12 Бросание игральных кубиков. Какая вероятность выбрасывания в сумме 8 на двух игральных кубиках?

Решение На каждом игральном кубике есть 6 возможных исходов. Исходы удваиваются, то есть существует 6.6 или 36 возможных способа, в котором могут выпасть цифры на двух кубиках. (Лучше, если кубики разные, скажем один красный а второй голубой - это поможет визуализировать результат.)

Пары цифр, в сумме составляющие 8, показаны на рисунке внизу. Есть 5 возможных способов получения суммы, равной 8, отсюда вероятность равна 5/36.

ВВЕДЕНИЕ

Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы;
но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий.
Козьма Прутков

Основная цель изучения математики в средних специальных учебных заведениях состоит в том, чтобы дать студентам набор математических знаний и навыков, необходимых для изучения других программных дисциплин, использующих в той или иной мере математику, для умения выполнять практические расчеты, для формирования и развития логического мышления.

В данной работе последовательно вводятся все базовые понятия раздела математики "Основы теории вероятностей и математической статистики", предусмотренные программой и Государственными образовательными стандартами среднего профессионального образования (Министерство образования Российской Федерации. М., 2002г.), формулируются основные теоремы, большая часть которых не доказывается. Рассматриваются основные задачи и методы их решения и технологии применения этих методов к решению практических задач. Изложение сопровождается подробными комментариями и многочисленными примерами.

Методические указания могут быть использованы для первичного ознакомления с изучаемым материалом, при конспектировании лекций, для подготовки к практическим занятиям, для закрепления полученных знаний, умений и навыков. Кроме того, пособие будет полезно и студентам- старшекурсникам как справочное пособие, позволяющее быстро восстановить в памяти то, что было изучено ранее.

В конце работы приведены примеры и задания, которые студенты могут выполнять в режиме самоконтроля.

Методические указания предназначены для студентов заочной и дневной форм обучения.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Теория вероятностей изучает объективные закономерности массовых случайных событий. Она является теоретической базой для математической статистики, занимающейся разработкой методов сбора, описания и обработки результатов наблюдений. Путем наблюдений (испытаний, экспериментов), т.е. опыта в широком смысле слова, происходит познание явлений действительного мира.

В своей практической деятельности мы часто встречаемся с явлениями, исход которых невозможно предсказать, результат которых зависит от случая.

Случайное явление можно охарактеризовать отношением числа его наступлений к числу испытаний, в каждом из которых при одинаковых условиях всех испытаний оно могло наступить или не наступить.

Теория вероятностей есть раздел математики, в котором изучаются случайные явления (события) и выявляются закономерности при массовом их повторении.

Математическая статистика - это раздел математики, который имеет своим предметом изучения методов сбора, систематизации, обработки и использования статистических данных для получения научно обоснованных выводов и принятия решений.

При этом под статистическими данными понимается совокупность чисел, которые представляют количественные характеристики интересующих нас признаков изучаемых объектов. Статистические данные получаются в результате специально поставленных опытов, наблюдений.

Статистические данные по своей сущности зависят от многих случайных факторов, поэтому математическая статистика тесно связана с теорией вероятностей, которая является ее теоретической основой.

I. ВЕРОЯТНОСТЬ. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1.1. Основные понятия комбинаторики

В разделе математики, который называется комбинаторикой, решаются некоторые задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. Например, если взять 10 различных цифр 0, 1, 2, 3,: , 9 и составлять из них комбинации, то будем получать различные числа, например 143, 431, 5671, 1207, 43 и т.п.

Мы видим, что некоторые из таких комбинаций отличаются только порядком цифр (например, 143 и 431), другие - входящими в них цифрами (например, 5671 и 1207), третьи различаются и числом цифр (например, 143 и 43).

Таким образом, полученные комбинации удовлетворяют различным условиям.

В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания .

Предварительно познакомимся с понятием факториала .

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут .

Вычислить: а) ; б) ; в) .

Решение. а) .

б) Так как и , то можно вынести за скобки

Тогда получим

в) .

Перестановки.

Комбинация из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками.

Перестановки обозначаются символом Р n , где n- число элементов, входящих в каждую перестановку. (Р - первая буква французского слова permutation - перестановка).

Число перестановок можно вычислить по формуле

или с помощью факториала:

Запомним, что 0!=1 и 1!=1.

Пример 2. Сколькими способами можно расставлять на одной полке шесть различных книг?

Решение. Искомое число способов равно числу перестановок из 6 элементов, т.е.

Размещения.

Размещениями из m элементов в n в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком из расположения.

Размещения обозначаются символом , где m - число всех имеющихся элементов, n - число элементов в каждой комбинации. (А- первая буква французского слова arrangement , что означает "размещение, приведение в порядок").

При этом полагают, что nm.

Число размещений можно вычислить по формуле

,

т.е. число всех возможных размещений из m элементов по n равно произведению n последовательных целых чисел, из которых большее есть m .

Запишем эту формулу в факториальной форме:

Пример 3. Сколько вариантов распределения трех путевок в санатории различного профиля можно составить для пяти претендентов?

Решение. Искомое число вариантов равно числу размещений из 5 элементов по 3 элемента, т.е.

.

Сочетания.

Сочетаниями называются все возможные комбинации из m элементов по n , которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом (здесь m и n- натуральные числа, причем n m ).

Число сочетаний из m элементов по n обозначаются (С -первая буква французского слова combination - сочетание).

В общем случае число из m элементов по n равно числу размещений из m элементов по n , деленному на число перестановок из n элементов:

Используя для чисел размещений и перестановок факториальные формулы, получим:

Пример 4. В бригаде из 25 человек нужно выделить четырех для работы на определенном участке. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Так как порядок выбранных четырех человек не имеет значения, то это можно сделать способами.

Находим по первой формуле

.

Кроме того, при решении задач используются следующие формулы, выражающие основные свойства сочетаний:

(по определению полагают и );

.

1.2. Решение комбинаторных задач

Задача 1. На факультете изучается 16 предметов. На понедельник нужно в расписание поставить 3 предмета. Сколькими способами можно это сделать?

Решение. Способов постановки в расписание трех предметов из 16 столько, сколько можно составить размещений из 16 элементов по 3.

Задача 2. Из 15 объектов нужно отобрать 10 объектов. Сколькими способами это можно сделать?

Задача 3. В соревнованиях участвовало четыре команды. Сколько вариантов распределения мест между ними возможно?

.

Задача 4. Сколькими способами можно составить дозор из трех солдат и одного офицера, если имеется 80 солдат и 3 офицера?

Решение. Солдат в дозор можно выбрать

способами, а офицеров способами. Так как с каждой командой из солдат может пойти любой офицер, то всего имеется способов.

Задача 5. Найти , если известно, что .

Так как , то получим

,

,

По определению сочетания следует, что , . Т.о. .

1.3. Понятие о случайном событии. Виды событий. Вероятность события

Всякое действие, явление, наблюдение с несколькими различными исходами, реализуемое при данном комплексе условий, будем называть испытанием.

Результат этого действия или наблюдения называется событием .

Если событие при заданных условиях может произойти или не произойти, то оно называется случайным . В том случае, когда событие должно непременно произойти, его называют достоверным , а в том случае, когда оно заведомо не может произойти,- невозможным .

События называются несовместными , если каждый раз возможно появление только одного из них.

События называются совместными , если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при том же испытании.

События называются противоположными , если в условиях испытания они, являясь единственными его исходами, несовместны.

События принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, Д, : .

Полной системой событий А 1 , А 2 , А 3 , : , А n называется совокупность несовместных событий, наступление хотя бы одного из которых обязательно при данном испытании.

Если полная система состоит из двух несовместных событий, то такие события называются противоположными и обозначаются А и .

Пример. В коробке находится 30 пронумерованных шаров. Установить, какие из следующих событий являются невозможными, достоверными, противоположными:

достали пронумерованный шар (А);

достали шар с четным номером (В);

достали шар с нечетным номером (С);

достали шар без номера (Д).

Какие из них образуют полную группу?

Решение. А - достоверное событие; Д - невозможное событие;

В и С - противоположные события.

Полную группу событий составляют А и Д, В и С .

Вероятность события, рассматривается как мера объективной возможности появления случайного события.

1.4. Классическое определение вероятности

Число, являющееся выражением меры объективной возможности наступления события, называется вероятностью этого события и обозначается символом Р(А).

Определение. Вероятностью события А называется отношение числа исходов m, благоприятствующих наступлению данного события А , к числу n всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т.е. .

Следовательно, для нахождения вероятности события необходимо, рассмотрев различные исходы испытания, подсчитать все возможные несовместные исходы n, выбрать число интересующих нас исходов m и вычислить отношение m к n .

Из этого определения вытекают следующие свойства:

Вероятность любого испытания есть неотрицательное число, не превосходящее единицы.

Действительно, число m искомых событий заключено в пределах . Разделив обе части на n , получим

2. Вероятность достоверного события равна единице, т.к. .

3. Вероятность невозможного события равна нулю, поскольку .

Задача 1. В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

Решение. Общее число различных исходов есть n =1000. Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m=200. Согласно формуле, получим

.

Задача 2. В партии из 18 деталей находятся 4 бракованных. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из этих 5 деталей две окажутся бракованными.

Решение. Число всех равновозможных независимых исходов n равно числу сочетаний из 18 по 5 т.е.

Подсчитаем число m, благоприятствующих событию А. Среди 5 взятых наугад деталей должно быть 3 качественных и 2 бракованных. Число способов выборки двух бракованных деталей из 4 имеющихся бракованных равно числу сочетаний из 4 по 2:

Число способов выборки трех качественных деталей из 14 имеющихся качественных равно

.

Любая группа качественных деталей может комбинироваться с любой группой бракованных деталей, поэтому общее число комбинаций m составляет

Искомая вероятность события А равна отношению числа исходов m, благоприятствующих этому событию, к числу n всех равновозможных независимых исходов:

.

Суммой конечного числа событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них.

Сумму двух событий обозначают символом А+В, а сумму n событий символом А 1 +А 2 + : +А n .

Теорема сложения вероятностей.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна суммевероятностей этих событий.

Следствие 1. Если событие А 1 , А 2 , : ,А n образуют полную систему, то сумма вероятностей этих событий равна единице.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий и равна единице.

.

Задача 1. Имеется 100 лотерейных билетов. Известно, что на 5 билетов попадает выигрыш по 20000 руб., на 10 - по 15000 руб, на 15 - по 10000 руб., на 25 - по 2000 руб. и на остальные ничего. Найти вероятность того, что на купленный билет будет получен выигрыш не менее 10000 руб.

Решение. Пусть А, В, и С- события, состоящие в том, что на купленный билет падает выигрыш, равный соответственно 20000, 15000 и 10000 руб. так как события А, В и С несовместны, то

Задача 2. На заочное отделение техникума поступают контрольные работы по математике из городов А, В и С . Вероятность поступления контрольной работы из города А равна 0,6, из города В - 0,1. Найти вероятность того, что очередная контрольная работа поступит из города С .

Простейшим примером связи между двумя событиями служит причинная связь, когда наступление одного из событий обязательно приводит к наступлению другого, или наоборот, когда наступление одного исключает возможность наступления другого.

Для характеристики зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности.

Определение. Пусть А и В - два случайных события одного и того же испытания. Тогда условной вероятностью события А или вероятностью события А при условии, что наступило событие В, называется число .

Обозначив условную вероятность , получим формулу

, .

Задача 1. Вычислить вероятность того, что в семье, где есть один ребенок- мальчик, родится второй мальчик.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что в семье два мальчика, а событие В - что один мальчик.

Рассмотрим все возможные исходы: мальчик и мальчик; мальчик и девочка; девочка и мальчик; девочка и девочка.

Тогда , и по формуле находим

.

Событие А называется независимым от события В , если наступление события В не оказывает никакого влияния на вероятность наступления события А .

Теорема умножения вероятностей

Вероятность одновременного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, вычисляется по формуле

Задача 2. В первой урне находится 6 черных и 4 белых шара, во второй- 5 черных и 7 белых шаров. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

А и В есть событие АВ . Следовательно,

б) Если работает первый элемент, то имеет место событие (противоположное событию А - выходу этого элемента из строя); если работает второй элемент- событие В. Найдем вероятности событий и :

Тогда событие, состоящее в том, что будут работать оба элемента, есть и, значит,

Мама мыла раму

Под занавес продолжительных летних каникул пришло время потихоньку возвращаться к высшей математике и торжественно открыть пустой вёрдовский файл, чтобы приступить к созданию нового раздела – . Признаюсь, нелегко даются первые строчки, но первый шаг – это пол пути, поэтому я предлагаю всем внимательно проштудировать вводную статью, после чего осваивать тему будет в 2 раза проще! Ничуть не преувеличиваю. …Накануне очередного 1 сентября вспоминается первый класс и букварь…. Буквы складываются в слоги, слоги в слова, слова в короткие предложения – Мама мыла раму. Совладать с тервером и математической статистикой так же просто, как научиться читать! Однако для этого необходимо знать ключевые термины, понятия и обозначения, а также некоторые специфические правила, которым и посвящён данный урок.

Но сначала примите мои поздравления с началом (продолжением, завершением, нужное отметить) учебного года и примите подарок. Лучший подарок – это книга, и для самостоятельной работы я рекомендую следующую литературу:

1) Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика

Легендарное учебное пособие, выдержавшее более десяти переизданий. Отличается доходчивостью и предельной простой изложения материала, а первые главы так и вовсе доступны, думаю, уже для учащихся 6-7-х классов.

2) Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике

Решебник того же Владимира Ефимовича с подробно разобранными примерами и задачами.

ОБЯЗАТЕЛЬНО закачайте обе книги из Интернета или раздобудьте их бумажные оригиналы! Подойдёт и версия 60-70-х годов, что даже лучше для чайников. Хотя фраза «теория вероятностей для чайников» звучит довольно нелепо, поскольку почти всё ограничивается элементарными арифметическими действиями. Проскакивают, правда, местами производные и интегралы , но это только местами.

Я постараюсь достичь той же ясности изложения, но должен предупредить, что мой курс ориентирован на решение задач и теоретические выкладки сведены к минимуму. Таким образом, если вам нужна развёрнутая теория, доказательства теорем (теорем-теорем!), пожалуйста, обратитесь к учебнику. Ну, а кто хочет научиться решать задачи по теории вероятностей и математической статистике в самые короткие сроки , следуйте за мной!

Для начала хватит =)

По мере прочтения статей целесообразно знакомиться (хотя бы бегло) с дополнительными задачами рассмотренных видов. На странице Готовые решения по высшей математике будут размещаться соответствующие pdf-ки с примерами решений. Также значительную помощь окажут ИДЗ 18.1 Рябушко (попроще) и прорешанные ИДЗ по сборнику Чудесенко (посложнее).

1) Суммой двух событий и называется событие которое состоит в том, что наступит или событие или событие или оба события одновременно. В том случае, если события несовместны , последний вариант отпадает, то есть может наступить или событие или событие .

Правило распространяется и на бОльшее количество слагаемых, например, событие состоит в том, что произойдёт хотя бы одно из событий , а если события несовместны – то одно и только одно событие из этой суммы: или событие , или событие , или событие , или событие , или событие .

Примеров масса:

События (при броске игральной кости не выпадет 5 очков) состоит в том, что выпадет или 1, или 2, или 3, или 4, или 6 очков.

Событие (выпадет не более двух очков) состоит в том, что появится 1 или 2 очка .

Событие (будет чётное число очков) состоит в том, что выпадет или 2 или 4 или 6 очков.

Событие заключается в том, что из колоды будет извлечена карта красной масти (черва или бубна), а событие – в том, что будет извлечена «картинка» (валет или дама или король или туз).

Чуть занятнее дело с совместными событиями:

Событие состоит в том, что из колоды будет извлечена трефа или семёрка или семёрка треф. Согласно данному выше определению, хотя бы что-то – или любая трефа или любая семёрка или их «пересечение» – семёрка треф. Легко подсчитать, что данному событию соответствует 12 элементарных исходов (9 трефовых карт + 3 оставшиеся семёрки).

Событие состоит в том, что завтра в 12.00 наступит ХОТЯ БЫ ОДНО из суммируемых совместных событий , а именно:

– или будет только дождь / только гроза / только солнце;
– или наступит только какая-нибудь пара событий (дождь + гроза / дождь + солнце / гроза + солнце);
– или все три события появятся одновременно.

То есть, событие включает в себя 7 возможных исходов.

Второй столп алгебры событий:

2) Произведением двух событий и называют событие , которое состоит в совместном появлении этих событий, иными словами, умножение означает, что при некоторых обстоятельствах наступит и событие , и событие . Аналогичное утверждение справедливо и для бОльшего количества событий, так, например, произведение подразумевает, что при определённых условиях произойдёт и событие , и событие , и событие , …, и событие .

Рассмотрим испытание, в котором подбрасываются две монеты и следующие события:

– на 1-й монете выпадет орёл;
– на 1-й монете выпадет решка;
– на 2-й монете выпадет орёл;
– на 2-й монете выпадет решка.

Тогда:
и на 2-й) выпадет орёл;
– событие состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и на 2-й) выпадет решка;
– событие состоит в том, что на 1-й монете выпадет орёл и на 2-й монете решка;
– событие состоит в том, что на 1-й монете выпадет решка и на 2-й монете орёл.

Нетрудно заметить, что события несовместны (т.к. не может, например, выпасть 2 орла и в то же самое время 2 решки) и образуют полную группу (поскольку учтены все возможные исходы броска двух монет) . Давайте просуммируем данные события: . Как интерпретировать эту запись? Очень просто – умножение означает логическую связку И , а сложение – ИЛИ . Таким образом, сумму легко прочитать понятным человеческим языком: «выпадут два орла или две решки или на 1-й монете выпадет орёл и на 2-й решка или на 1-й монете выпадет решка и на 2-й монете орёл »

Это был пример, когда в одном испытании задействовано несколько объектов, в данном случае – две монеты. Другая распространенная в практических задачах схема – это повторные испытания , когда, например, один и тот же игральный кубик бросается 3 раза подряд. В качестве демонстрации рассмотрим следующие события:

– в 1-м броске выпадет 4 очка;
– во 2-м броске выпадет 5 очков;
– в 3-м броске выпадет 6 очков.

Тогда событие состоит в том, что в 1-м броске выпадет 4 очка и во 2-м броске выпадет 5 очков и в 3-м броске выпадет 6 очков. Очевидно, что в случае с кубиком будет значительно больше комбинаций (исходов), чем, если бы мы подбрасывали монету.

…Понимаю, что, возможно, разбираются не очень интересные примеры, но это часто встречающиеся в задачах вещи и от них никуда не деться. Помимо монетки, кубика и колоды карт вас поджидают урны с разноцветными шарами, несколько анонимов, стреляющих по мишени, и неутомимый рабочий, который постоянно вытачивает какие-то детали =)

Вероятность события

Вероятность события – это центральное понятие теории вероятностей. …Убийственно логичная вещь, но с чего-то надо было начинать =) Существует несколько подходов к её определению:

;
Геометрическое определение вероятности ;
Статистическое определение вероятности .

В данной статье я остановлюсь на классическом определении вероятностей, которое находит наиболее широкое применение в учебных заданиях.

Обозначения . Вероятность некоторого события обозначается большой латинской буквой , а само событие берётся в скобки, выступая в роли своеобразного аргумента. Например:

Также для обозначения вероятности широко используется маленькая буква . В частности, можно отказаться от громоздких обозначений событий и их вероятностей в пользу следующей стилистики::

– вероятность того, что в результате броска монеты выпадет «орёл»;
– вероятность того, что в результате броска игральной кости выпадет 5 очков;
– вероятность того, что из колоды будет извлечена карта трефовой масти.

Данный вариант популярен при решении практических задач, поскольку позволяет заметно сократить запись решения. Как и в первом случае, здесь удобно использовать «говорящие» подстрочные/надстрочные индексы.

Все уже давно догадались о числах, которые я только что записал выше, и сейчас мы узнаем, как они получились:

Классическое определение вероятности :

Вероятностью наступления события в некотором испытании называют отношение , где:

– общее число всех равновозможных , элементарных исходов этого испытания, которые образуют полную группу событий ;

– количество элементарных исходов, благоприятствующих событию .

При броске монеты может выпасть либо орёл, либо решка – данные события образуют полную группу , таким образом, общее число исходов ; при этом, каждый из них элементарен и равновозможен . Событию благоприятствует исход (выпадение орла). По классическому определению вероятностей: .

Аналогично – в результате броска кубика может появиться элементарных равновозможных исходов, образующих полную группу, а событию благоприятствует единственный исход (выпадение пятёрки). Поэтому: .ЭТОГО ДЕЛАТЬ НЕ ПРИНЯТО (хотя не возбраняется прикидывать проценты в уме).

Принято использовать доли единицы , и, очевидно, что вероятность может изменяться в пределах . При этом если , то событие является невозможным , если – достоверным , а если , то речь идёт о случайном событии.

! Если в ходе решения любой задачи у вас получилось какое-то другое значение вероятности – ищите ошибку!

При классическом подходе к определению вероятности крайние значения (ноль и единица) получаются посредством точно таких же рассуждений. Пусть из некой урны, в которой находятся 10 красных шаров, наугад извлекается 1 шар. Рассмотрим следующие события:

в единичном испытании маловозможное событие не произойдёт .

Именно поэтому Вы не сорвёте в лотерее Джек-пот, если вероятность этого события, скажем, равна 0,00000001. Да-да, именно Вы – с единственным билетом в каком-то конкретном тираже. Впрочем, бОльшее количество билетов и бОльшее количество розыгрышей Вам особо не помогут. ...Когда я рассказываю об этом окружающим, то почти всегда в ответ слышу: «но ведь кто-то выигрывает». Хорошо, тогда давайте проведём следующий эксперимент: пожалуйста, сегодня или завтра купите билет любой лотереи (не откладывайте!). И если выиграете... ну, хотя бы больше 10 килорублей, обязательно отпишитесь – я объясню, почему это произошло. За процент, разумеется =) =)

Но грустить не нужно, потому что есть противоположный принцип: если вероятность некоторого события очень близка к единице, то в отдельно взятом испытании оно практически достоверно произойдёт. Поэтому перед прыжком с парашютом не надо бояться, наоборот – улыбайтесь! Ведь должны сложиться совершенно немыслимые и фантастические обстоятельства, чтобы отказали оба парашюта.

Хотя всё это лирика, поскольку в зависимости от содержания события первый принцип может оказаться весёлым, а второй – грустным; или вообще оба параллельными.

Пожалуй, пока достаточно, на уроке Задачи на классическое определение вероятности мы выжмем максимум из формулы . В заключительной же части этой статьи рассмотрим одну важную теорему:

Сумма вероятностей событий, которые образуют полную группу, равна единице . Грубо говоря, если события образуют полную группу, то со 100%-й вероятностью какое-то из них произойдёт. В самом простом случае полную группу образуют противоположные события, например:

– в результате броска монеты выпадет орёл;
– в результате броска монеты выпадет решка.

По теореме:

Совершенно понятно, что данные события равновозможны и их вероятности одинаковы .

По причине равенства вероятностей равновозможные события часто называют равновероятными . А вот и скороговорка на определение степени опьянения получилась =)

Пример с кубиком: события противоположны, поэтому .

Рассматриваемая теорема удобна тем, что позволяет быстро найти вероятность противоположного события. Так, если известна вероятность того, что выпадет пятёрка, легко вычислить вероятность того, что она не выпадет:

Это гораздо проще, чем суммировать вероятности пяти элементарных исходов. Для элементарных исходов, к слову, данная теорема тоже справедлива:
. Например, если – вероятность того, что стрелок попадёт в цель, то – вероятность того, что он промахнётся.

! В теории вероятностей буквы и нежелательно использовать в каких-то других целях.

В честь Дня Знаний я не буду задавать домашнее задание =), но очень важно, чтобы вы могли ответить на следующие вопросы:

– Какие виды событий существуют?
– Что такое случайность и равновозможность события?
– Как вы понимаете термины совместность/несовместность событий?
– Что такое полная группа событий, противоположные события?
– Что означает сложение и умножение событий?
– В чём суть классического определения вероятности?
– Чем полезна теорема сложения вероятностей событий, образующих полную группу?

Нет, зубрить ничего не надо, это всего лишь азы теории вероятностей – своеобразный букварь, который довольно быстро уложится в голове. И чтобы это произошло как можно скорее, предлагаю ознакомиться с уроками

Курс математики готовит школьникам массу сюрпризов, один из которых - это задача по теории вероятности. С решением подобных заданий у учащихся возникает проблема практически в ста процентах случаев. Чтобы понимать и разбираться в данном вопросе, необходимо знать основные правила, аксиомы, определения. Для понимания текста в книге, нужно знать все сокращения. Всему этому мы и предлагаем обучиться.

Наука и ее применение

Так как мы предлагаем ускоренный курс «теория вероятности для чайников», то сначала необходимо ввести основные понятия и буквенные сокращения. Для начала определимся с самим понятием «теория вероятности». Что же это за наука и для чего она нужна? Теория вероятности - это один из разделов математики, который изучает случайные явления и величины. Так же она рассматривает закономерности, свойства и операции, совершаемые с этими случайными величинами. Для чего она нужна? Широкое распространение наука получила в изучении природных явлений. Любые природные и физические процессы не обходятся без присутствия случайности. Даже если во время опыта были максимально точно зарегистрированы результаты, при повторе того же испытания, результат с большой вероятностью не будет таким же.

Примеры задач по мы обязательно рассмотрим, вы сами сможете в этом убедиться. Исход зависит от множества различных факторов, которые практически невозможно учесть или зарегистрировать, но тем не менее они оказывают огромнейшее влияние на исход опыта. Яркими примерами могут служить задачи определения траектории движения планет или определение прогноза погоды, вероятность встретить знакомого человека во время пути на работу и определение высоты прыжка спортсмена. Так же теория вероятности оказывает большую помощь брокерам на фондовых биржах. Задача по теории вероятности, с решением которой раньше возникало много проблем, станет для вас сущим пустяком после трех-четырех примеров, приведенных ниже.

События

Как уже говорилось ранее, наука изучает события. Теория вероятностей, примеры решения задач мы рассмотрим немного позже, изучает только один вид - случайные. Но тем не менее необходимо знать, что события могут быть трех видов:

• Невозможные.
• Достоверные.
• Случайные.

Предлагаем немного оговорить каждый из них. Невозможное событие никогда не произойдет, ни при каких условиях. Примерами могут служить: замерзание воды при плюсовой температуре, вытягивание кубика из мешка с шарами.

Достоверное событие происходит всегда со стопроцентной гарантией, если выполнены все условия. Например: вы получили заработную плату за проделанную работу, получили диплом о высшем профессиональном образовании, если добросовестно учились, сдали экзамены и защитили диплом и так далее.

Со все немного сложнее: в ходе опыта оно может произойти или нет, например, вытащить туз из карточной колоды, сделав не более трех попыток. Результат можно получить как с первой попытки, так и, вообще, не получить. Именно вероятность происхождения события и изучает наука.

Вероятность

Это в общем смысле оценка возможности удачного исхода опыта, при котором наступает событие. Вероятность оценивается на качественном уровне, особенно если количественная оценка невозможна или затруднительна. Задача по теории вероятности с решением, точнее с оценкой подразумевает нахождение той самой возможной доли благополучного исхода. Вероятность в математике - это числовая характеристики события. Она принимает значения от нуля до единицы, обозначается буквой Р. Если Р равняется нулю, то событие произойти не может, если единице, то событие произойдет со стопроцентной вероятностью. Чем больше Р приближается к единице, тем сильнее вероятность благополучного исхода, и наоборот, если близко к нулю, то и событие произойдет с малой вероятностью.

Сокращения

Задача по теории вероятности, с решением которой вы вскоре столкнетесь, может содержать следующие сокращения:

• Р и Р(Х);
• А, В, С и т. д;

Возможны и некоторые другие: по мере необходимости будут вноситься добавочные объяснения. Предлагаем, для начала, пояснить представленные выше сокращения. Первым в нашем списке встречается факториал. Для того чтобы было понятно, приведем примеры: 5!=1*2*3*4*5 или 3!=1*2*3. Далее, в фигурных скобках пишут заданные множества, например: {1;2;3;4;..;n} или {10;140;400;562}. Следующее обозначение - это множество натуральных чисел, довольно часто встречается в заданиях по теории вероятности. Как уже говорилось ранее, Р - это вероятность, а Р(Х) - это вероятность происхождения события Х. Большими буквами латинского алфавита обозначаются события, например: А - попался белый шар, В - синий, С - красный или соответственно, . Маленькая буква n - это количество всех возможных исходов, а m - количество благополучных. Отсюда и получаем правило нахождения классической вероятности в элементарных задачах: Р=m/n. Теория вероятности «для чайников», наверное, и ограничивается данными знаниями. Теперь для закрепления переходим к решению.

Задача 1. Комбинаторика

Студенческая группа насчитывает тридцать человек, из которых необходимо выбрать старосту, его заместителя и профорга. Необходимо найти количество способов сделать данное действие. Подобное задание может встретиться на ЕГЭ. Теория вероятности, решение задач которой мы сейчас рассматриваем, может включать задачи из курса комбинаторики, нахождение классической вероятности, геометрической и задачи на основные формулы. В данном примере мы решаем задание из курса комбинаторики. Переходим к решению. Это задание простейшее:

1. n1=30 - возможных старост студенческой группы;
2. n2=29 - те, кто могут занять пост заместителя;
3. n3=28 человек претендует на должность профорга.

Все, что нам остается сделать, это найти возможное количество вариантов, то есть перемножить все показатели. В результате мы получаем: 30*29*28=24360.

Это и будет ответом на поставленный вопрос.

Задача 2. Перестановка

На конференции выступают 6 участников, порядок определяется жеребьевкой. Нам нужно найти количество возможных вариантов жеребьевки. В данном примере, мы рассматриваем перестановку из шести элементов, то есть нам нужно найти 6!

В пункте сокращений мы уже упоминали, что это такое и как вычисляется. Итого получается, что существует 720 вариантов жеребьевки. На первый взгляд тяжелое задание имеет вполне короткое и простое решение. Это и есть задания, которые рассматривает теория вероятности. Как решать задачи более высокого уровня, мы рассмотрим в следующих примерах.

Задача 3

Группу студентов из двадцати пяти человек необходимо разбить на три подгруппы по шесть, девять и десять человек. Мы имеем: n=25, k=3, n1=6, n2=9, n3=10. Осталось подставить значения в нужную формулу, мы получаем: N25(6,9,10). После несложных вычислений мы получаем ответ - 16 360 143 800. Если в задании не говорится о том, что необходимо получить числовое решение, то можно дать его в виде факториалов.

Задача 4

Три человека загадали числа от одного до десяти. Найдите вероятность того, что у кого-то числа совпадут. Сначала мы должны узнать число всех исходов - в нашем случае это тысяча, то есть десять в третей степени. Теперь найдем количество вариантов, когда все загадали разные числа, для этого перемножаем десять, девять и восемь. Откуда взялись эти числа? Первый загадывает число, у него есть десять вариантов, второй имеет уже девять, а третьему надо выбирать из восьми оставшихся, таким образом получаем 720 возможных вариантов. Как уже мы посчитали ранее, всего вариантов 1000, а без повторений 720, следовательно, нас интересуют оставшиеся 280. Теперь нам нужна формула нахождения классической вероятности: Р= . Мы получили ответ: 0,28.